I.

최적화기법을 이용한 요추에서의 근육 시뮬레이션

Preliminary Study on the Lumbar Muscle Simulation Using Optimization Technique

Seok-Jo Yang, Ph.D*

* Division of Mechanical-Mechanical Design-Mechatronics Engineering, College of Engineering,

Chungnam National University, Daejeon 305-764

sjyang@cnu.ac.kr

Abstract: Optimization technique was applied to calculate the magnitude of muscle forces at the lumbar region.  The concept of follower load was adopted as a physiological condition to express the curvature of the lumbar spine.  The optimization problem was efficiently solved using a linear solver in Matlab. The resultant of follower load seems to be similar to the physiological load. The results showed that follower load could be created using short muscles(not superficial long muscles) in static situation. This preliminary study for computer simulation using optimization technique shows this technique can be a powerful tool for studying the cause and intervention for spine deformities such as scoliosis.

Keyword: muscle simulation, optimization, follower load, lumbar spine

배 경

척추의 안정유지 시스템(stabilizing system)은 다음과 같이 3개의 하위 시스템으로 나눌 수 있는데, (1) spinal column, (2) 주변의 근육, (3) 근육의 운동 제어 단위(motor control unit) 이 그것이다. spinal column 의 해부학적 구조 및 그 역할은 많은 생체역학 연구를 통하여 거의 밝혀지고 이해되어지고 있으나, spinal stability 에 있어서의 근육의 역할 및 유지 mechanism 은 거의 연구되어 있지 않아 이해의 정도가 무척 낮은 것이 사실이다.

Patwardhan[1-4]은 척추의 생리적 정상하중(physiologic normal load)으로서 “follower load”의 개념을 도입하였다.  척추근육과 척추가 받는 중력, 외부하중 등의 합력이 척추를 곡선을 따라서 흐르는 것을 follower load 라고 정의하고, 그것이 stability 와 flexibility를 유지하는 데 결정적이라고 생각했다(그림 1 참조).  Lumbar spine에서의 해석적, 실험적 분석을 통해 follower load가 range of motion(ROM)의 상실없이 stability를 크게 향상시킨다는 사실을 밝혀냈다.  척추에서 follower load가 유지되는 동안은 척추에서의 하중이 축방향(즉, 척추 곡선을 따라서)으로 압축하중 만을 받을 것이고, 만일 follower load pattern 이 무너졌을 때는 압축하중 외에 anteroposterior 또는 medial-laterial 방향으로 전단하중(shear load)이 생길 것이다.  이러한 정상적 압축하중 이외의 하중에 의해 spinal instability가 증가하고, 따라서 spinal deformities 를 야기하는 중요한 요소가 된다고 생각한 것이다.

이러한 척추의 형태와 근육의 상관관계는 이론적으로나 실험적으로 타당한 면이 있으나, 근육의 운동형태나 크기 등은 실제적으로 측정하기 어렵다.

본 논문은 위의 가설에 입각해 근육의 작동형태와 그러한 근육의 이상(abnormality)이 척추의 변형(deformities)에 어떠한 영향을 미치는 지를 확인하기 위하여 최적화 기법(optimization technique)을 통한  computer simulation을 적용하고자 하였다.

그림  Follower Load

II. 방 법

요추에서의 근육의 힘들을 결정하는 문제는 static equilibrium equation의 수보다 결정해야 하는 근육의 힘(muscle forces)이 더 많은 indeterminate 문제이다.  따라서 다음과 같은 최적화기법을 이용하여 2-D에서의 근육의 힘들을 결정한다.

1.  Modeling

각각의 요추체를 강체(rigid body)로 간주하여 sagittal plane에서의 기하학적 형태(lordosis)를 구성하였다. 추간판은 force와 moment를 발생하는 force element 로 간주한다.(그림 2 참조)

근육의 힘들은 근육의 수축에 의하여만 힘이 발생하고(능동적 수축), 이 힘은 요추체에 인장력으로 작용한다. 또한, 이러한 힘의 방향은 근육이 요추체에 붙어 있는 두 접점의 일차적 연결선의 방향이다. lumbar spine의 정적상태에서 neutral posture (27o lumbar lordosis angle) 를 유지하기 위한 follower load를 생성하기 위한 주변 근육의 크기를 계산하기 위하여 mid-sagittal symmetry를 가정하고, 2-D optimization simulation 을 적용하였다.  총 64개의 요추체의 근육이 모델링되었는데, 이는 22개의 superficial muscles (1 external oblique, 1 internal oblique, 6 longissimus, 6 psoas major, 5 quadratus lumbarum, 1 rectus obdominis, and 2 spinalis thoracis) 와 42개의 internal muscles (20 multifidi, 6 interspinales, 5 intertransversarii, and 11 rotatores) 이다. 그림 3은 이러한 요추체에 연관된 모든 근육의 입력데이타를 보여주고, 그림 4는 각 조인트에서의 reaction force, 즉 follower load를 나타낸다. .

2.  Optimization

그림  요추체와 Joints

2.1. Design Variables

고려한 근육의 n개인 경우, n개의 근육힘, 6개의 조인트 힘, 6개의 조인트 모멘트, 따라서, 총 n+12개의 미지수가 존재한다.  여기에서는 요추체에 64개의 근육을 고려하였으므로 76개의 unknown이 존재한다.

2.2. Equality Constraints

x, y축 방향으로의 force equilibrium 및 z축에 대한moment equilibrium이 성립하여야 하므로 수식으로 표현하면 다음과 같다.

[eqn: [ sum _{} ^{} F _{x} (F _{jt} ,`F _{m} )=0] _{i}# [ sum _{} ^{} F _{y} (F _{jt} ,`F _{m} )=0] _{i} `````````````````````단,``1 LEQ i LEQ 6# [ sum _{} ^{} M _{z} (F _{jt} ,`F _{m} ,M _{jt} )=0] _{i}]

[eqn: F _{jt} ^{} ,``M _{jt} ^{} `]는 각각 joint reaction force 및 moment를  [eqn: F _{m} ^{} `]는 muscle force, 즉 근육의 힘을 뜻한다.

따라서, 그림 2에서 보여지는 것과 같이 다섯개의 요추체를 천추(sacrum)와 trunk에 결합시킨 모델이므로 6X3=18개의 평형방정식을 얻을 수 있다.

2.3. Inequality Constraints

요추체에 작용하는 근육의 힘들은 모두 인장력(tensile force)이므로

[eqn: F _{jt} ^{k} ,``F _{m} ^{l} ` GEQ 0]      단,  l=1 to n (=64)

또한, 하부의 하중은 상부의 하중보다 크거나 같으므로 다음과 같은 식이 성립한다.

[eqn: F _{jt} ^{k-1} LEQ F _{jt} ^{k} ,````단````2 LEQ k LEQ 6]

2.4. Objective Function

어떤 형태의 자세를 취하든지, 요추에 가해지는 하중, 즉 force와 moment를 최소화하는 방향으로 하중을 분산시킨다고 가정하였다.  따라서 목적함수는 다음과 같이 쓸 수있다.

[eqn: Minimize``` sum _{k=1} ^{6} F _{jt} ^{k} + sum _{k=1} ^{6} M _{jt} ^{k}]

[eqn: F _{jt} ^{k} ,``M _{jt} ^{k} `]는 요추체 각 joint에서의 joint reaction force(follower load) 및 moment를 나타낸다.

2.5 Analysis

위의 식들에서 보여지듯이 목적함수 및 구속조건들은 선형적이므로, matlab에 내장되어 있는 linear solver를 이용하여 구할 수 있는데, 이는 Mehrotra's predict/or-corrector algorithm이 채택된 linear interior point solver이다.[5] 또한, 위의 식을 풀기 위하여 simplex method를 채택할 수도 있다.[6]

(a)                     (b)

그림 3 근육 모델링: (a) 전면view (b)측면view

그림 4. 각 조인트에서의 follower load

III. 결 과

최적화기법을 이용하여 350N의 하중을 trunk에 가하고, 근육의 힘을 시뮬레이션한 결과, <표 1>과 같이 일부의 근육은 작동하고, 대부분의 근육이 inactive 상태인 것 (즉 하중이 0)을 확인할 수 있었다. 또한, 각 조인트에서의 reaction force(follower load)는 <표 2>에 보인 것처럼, 430N ~ 460N의 값을 나타내는데, 이는 physiological load와 흡사한 값을 보여준다.

표 1. follower load를 생성하는 요추 근육의 크기

Active Muscles	Force (N)
spinalis thoracis L1-T6	72.9
rotatores L1-T12	69.7
interspinales L2-L1	23.4
intertransversarii L2-L1	34.1
rotatores L2-L1	73.1
interspinales L3-L2	5.3
intertransversarii L3-L2	77.5
rotatores L3-L2	32.1
longissimus sacrum-L3	36.2
multifidus sacrum-L3	6.2
interspinales L4-L3	6.0
intertransversarii L4-L3	55.7
longissimus sacrum-L4	75.2
interspinales L5-L4	4.1
longissimus sacrum-L5	10.6
all other forces	0

표 2. 요추에서의 joint reaction (follower load)

Reaction Level	Force(N)
T12 - L1	430.4
L1 - L2	430.4
L2 - L3	430.4
L3 - L4	430.4
L4 - L5	447.7
L5 - S1	461.2

IV. 결 론

위의 연구 결과는 매우 흥미로운 사실을 보여주고 있는데, 정적인 상태(static condition)에서 follower load 를 생성하기 위해서는 superficial long muscle이 아니라, short segmental muscle들이 주요하게 작동하고 있다. 즉, short muscle들의 활성화 여부와 방식에 의해 척추의 stability는 큰 영향을 받는 것이다. 실제로, long muscle들은 신체의 운동을 위하여 사용되고(dynamic condition), short muscle들은 신체의 stability를 유지하기 위하여(static condition), 사용되고 있는 것으로 판단되며, 이 simulation을 통해 이에 대한 명확한 근거를 마련한 것이다.  이와 같은 방법을  임상에 적용한다면, 원인이 불분명한 척추측만(scoliosis), kyphotic deformity, spondylolisthesis 등과 같은 척추변형 (spinal deformities)에의 근육의 역할을 명확히 해석함으로서, 그의 원인 규명에 중요한 단초를 제공할 뿐만 아니라, 치료의 방향을 제공할 것이다.  예를 들어, 변형된 척추의 기하학적인 분석을 통해 비정상적인 근육의 위치와 크기를 계산함으로써,  근육치료를 통해 변형된 척추를 바로잡을 수 있는 것 등이다.  위의 시뮬레이션의 결과는 이러한 근육의 역할 및 활동을 주목할 필요성을 암시하고 있는 것이다. 물론, 위의 연구는 초기 상태이고, 계속적으로 많은 것들이 밝혀져야 하겠지만, 측정이나 직접계산이 불가능했던 근육의 운동형태를 시뮬레이션을 통해 측정함으로서, 앞으로의 연구방향에 중요한 단초를 제공하고 있는 것은 분명하다. 이를 위하여 몇 가지 해결되어야 할 문제들이 존재하는데, 첫째, 현재 2D에서의 결과를 실제의 해부학적 구조를 그대로 구현할 3D 모델링에서 재현해야 하는 문제, 둘째, 움직임과 관련된 모델링, 즉 dynamic modeling의 어려움, 셋째, 모델링의 한계라고 할 수 있는 검증의 문제, 즉, 위의 시뮬레이션 측정에 의한 결과를 검증할 수 있는 실험적 방법을 강구해야 하는 문제 등이 그것이다.

참고문헌

1. Patwardhan, A.G., et al., A follower load increases the load-carrying capacity of the lumbar spine in compression. Spine, 1999. 24(10): p. 1003-9.

2 .Patwardhan, A.G., et al., Load-carrying capacity of the human cervical spine in compression is increased under a follower load. Spine, 2000. 25(12): p. 1548-54.

3. Patwardhan, A.G., K.P. Meade, and B. Lee, A frontal plane model of the lumbar spine subjected to a follower load: implications for the role of muscles. J Biomech Eng, 2001. 123(3): p. 212-7.

4. Patwardhan, A.G., et al., Effect of compressive follower preload on the flexion-extension response of the human lumbar spine. J Orthop Res, 2003. 21(3): p. 540-6.

5. Zhang, Y., "Solving Large-Scale Linear Programs by Interior-Point Methods Under the MATLAB Environment," Technical Report TR96-01, Department of Mathematics and Statistics, University of Maryland, Baltimore County, Baltimore, MD, July 1995.

6. Mehrotra, S., "On the Implementation of a Primal-Dual Interior Point Method," SIAM Journal on Optimization, Vol. 2, pp. 575-601, 1992.